☝ Forme forte et forte faible - Remarque

Les deux versions du petit théorème de Fermat qui ont été présentées sont équivalentes.

On a démontré la forme faible en utilisant la forme forte, mais on peut obtenir la forme forte à partir de la forme faible.

En effet, soit \(p \in \mathcal{P}\) et \(n \in \mathbb{Z}\) . Supposons que \(n^p \equiv n \ [p]\) .
On a alors  \(\begin{align*}n^p-n \equiv 0 \ [p] \ \ \Longleftrightarrow \ \ n(n^{p-1}-1) \equiv 0 \ [p]\end{align*}\)  donc il existe \(k \in \mathbb{Z}\) tel que \(n(n^{p-1}-1)=kp\) .

Il y a alors deux alternatives :

• ou bien \(p\) divise \(n\) ;
• ou bien \(p\) ne divise pas \(n\) , et alors \(p\) divise \(n^{p-1}-1\) , c'est-à-dire \(n^{p-1} \equiv 1 \ [p]\) .